Fungsi Kuadrat dan Pembahasan Soal

Fungsi kuadrat adalah fungsi f yang ditentukan oleh rumus $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dengan $a,b,c\in \mathbb{R}$ dan $a\neq 0$ .

Bentuk umum fungsi kuadrat

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

Persamaan fungsi kuadrat

$y=ax^{2}+bx+c$

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Fungsi kuadrat memiliki ciri khas, yaitu pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat 2 atau berderajat 2.

Contoh fungsi kuadrat

a. $f(x)=x^{2}-3x-4$

b. $f(x)=2x^{2}-8$

c. $f(x)=-x^{2}+x$

Bentuk grafik fungsi kuadrat berdasarkan nilai a, dan nilai diskriminan (D) sebagai berikut.

Istilah Pada Grafik Fungsi Kuadrat

Pembuat Nol Fungsi

Pembuat nol fungsi adalah suatu nilai x yang menjadikan f(x) atau y sama dengan nol. Untuk menyelesaikan ini bisa menggunakan cara pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna atau rumus ABC.

Sumbu Simetri

Sumbu simetri adalah suatu garis yang membagi grafik fungsi kuadrat menjadi dua bagian yang sama.

Persamaan sumbu simetri dari $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dengan $a,b,c\in \mathbb{R}$ dan $a\neq 0$ adalah

$x=-\frac{b}{2a}$

Nilai balik fungsi

Jika a < 0, maka nilai balik fungsi f merupakan nilai maksimum fungsi f yaitu $y_{max}=f\left ( \frac{-b}{2a} \right )=\frac{-D}{4a}$ untuk $x=-\frac{b}{2a}$ dan $D=b^{2}-4ac$

Jika a > 0, maka nilai balik fungsi f merupakan nilai minimum fungsi f yaitu $y_{min}=f\left ( \frac{-b}{2a} \right )=\frac{-D}{4a}$ untuk $x=-\frac{b}{2a}$ dan $D=b^{2}-4ac$

Titik Balik

Titik balik adalah titik yang paling rendah atau titik yang paling tinggi yang dilalui oleh sumbu simetri grafik fungsi kuadrat. Koordinat titik balik dari fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dengan $a,b,c\in \mathbb{R}$ dan $a\neq 0$ adalah

$\left ( \frac{-b}{2a},\frac{-D}{4a} \right )$

Contoh soal dan pembahasan

1. Gambarlah grafik fungsi $f(x)=x^{2}-2x+5$ dengan domain $\left \{ x|-4\leqslant x\leq 2,x\in \mathbb{R} \right \}$

Langkah-langkah menggambar

Koefesien dari $x^{2}$ sama dengan 1 maka grafik terbuka ke atas
Cek nilai Diskriminan

$D=b^{2}-4ac$

$=\left ( -2 \right )^{2}-4.1.5$

$=4-20$

$=-16$

D < 0 artinya grafik berada diatas sumbu x

Tentukan persamaan sumbu simetri

$x=\frac{-b}{2a}$

$=\frac{-\left ( -2 \right )}{2.1}$

$=\frac{2}{2}=1$

Tentukan Nilai Balik minimumnya

$y_{min}=\frac{-D}{4a}$

$=\frac{-\left ( -16 \right )}{4.1}$

$=\frac{16}{4}=4$

Jadi titik balik minimumnya adalah (1,4)

Titik potong terhadap sumbu y jika x = 0

$y=x^{2}-2x+5$

$=0^{2}-2.0+5$

$=5$

Jadi titik potong terhadap sumbu y adalah $\left ( 0,5 \right )$

Cari koordinat titik lain dari ujung domain fungsi

Untuk x = -4

$y=x^{2}-2x+5$

$=\left ( -4 \right )^{2}-2\left ( -4 \right )+5$

$=16+8+5$

$=29$

Koordinat titik $\left ( -4,29 \right )$

Untuk x = 2

$y=x^{2}-2x+5$

$=2^{2}-2.2+5$

$=4-4+5$

$=5$

Koordinat titik $\left ( 2,5 \right )$

Gambar Grafik Fungsi

2. Jika $f(x)=4a+ax-bx^{2}$ , dengan $x\in \mathbb{R},a,b\in$ bilangan bulat, f(2) = -8 dan f(-1) = -11

a. Tentukan nilai a dan b

b. tulislah fungsi f

c. Persamaan sumbu simetri f

d. Nilai balik f dan jenisnya

e. Koordinat titik balik f dan jenisnya.

Pembahasan

a. Tentukan nilai a dan b

$f(2)=-8$

$4a+2.a-b.2^{2}=-8$

$4a+2a-4b=-8$

$6a-4b=-8$ .......... Persamaan (1)

$f(-1)=-11$

$4a+a(-1)-b(-1)^{2}=-11$

$4a-a-b=-11$

$3a-b=-11$ ................ Persamaan (2)

Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2)

Substitusi a = -6 ke persamaan (1)

6a - 4b = -8

6(-6) - 4b = -8

-36 -4b = -8

-4b = 28

b = -7

b. Rumus fungsi kuadrat f adalah....

$f(x)=4a+ax-bx^{2}$

$f(x)=4\left ( -6 \right )+\left ( -6 \right )x-\left ( -7 \right )x^{2}$

$f(x)=-24-6x+7x^{2}$

$f(x)=7x^{2}-6x-24$

c. Persamaan sumbu simetri

$x=\frac{-b}{2a}$

$x=\frac{-\left (- 6 \right )}{2.7}$

$x=\frac{6}{14}$

$x=\frac{3}{7}$

d. Nilai bali fungsi f

Karena nilai a>0 maka grafik fungsi f terbuka ke atas, maka fungsi f memiliki nilai minimal

$y_{min}=\frac{-D}{4a}$

$=\frac{-\left ( b^{2}-4ac \right )}{4a}$

$=\frac{-\left ( \left ( -6 \right )^{2}-4.7.\left ( -24 \right ) \right )}{4.7}$

$=\frac{-(36+672)}{28}$

$=\frac{-708}{28}$

$=\frac{-117}{7}$

e. Koordinat titik baliknya adalah $\left ( \frac{3}{7},\frac{-117}{7} \right )$

3. Perhatikan gambar disamping. Persegi panjang ABCD dengan panjang 16 cm dan lebar 12 cm. Titik-titik E, F, G dan H berturut-turut terletak pada AB, BC, CD dan AD sehingga DG = CF = BE = AH = x cm. Tentukanlah luas minimum segi empat EFGH.

Pembahasan

Dari gambar terlihat bahwa :

Luas segitiga EAH = Luas segitiga FCG

$L_{\Delta EAH}=\frac{1}{2}AE.AH$

$L_{\Delta EAH}=\frac{1}{2}\left ( 16-x \right )x$

$L_{\Delta EAH}=\frac{1}{2}\left ( 16x-x^{2} \right )$

Luas segitiga EBF = Luas segitiga GDH

$L_{\Delta EBF}=\frac{1}{2}EB.BF$

$L_{\Delta EBF}=\frac{1}{2}x\left ( 12-x \right )$

$L_{\Delta EBF}=\frac{1}{2}\left ( 12x-x^{2} \right )$

Luas segi empat EFGH = L ABCD - $\left (L_{\Delta EBF}+L_{\Delta GDH}+L_{\Delta EAH}+L_{\Delta FCG} \right )$

$L=16.12-\left ( \frac{1}{2}\left ( 12x-x^{2} \right )+\frac{1}{2}\left ( 12x-x^{2} \right )+\frac{1}{2}\left ( 16x-x^{2} \right )+\frac{1}{2}\left ( 16x-x^{2} \right ) \right )$