Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus ABC | Materi Matematika SMP/MTs Kelas 9 - Sambimatika

Pada bagian sebelumnya kita sudah mempelajari bahwa persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ setara/senilai dengan $x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ yang dapat diselesaikan dengan membentuk kuadrat sempurna $\left ( x+p \right )^{2}+q=0$ dimana nilai $p=\frac{b}{2a}$ dan $q=\frac{c}{a}-\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}$ sehingga diperoleh akar-akar persamaan kuadrat berikut.

$\left ( x+p \right )^{2}+q=0$

$\left ( x+p \right )^{2}=-q$

$\left ( x+p \right )^{2}=-\left ( \frac{c}{a}-\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2} \right )$

$\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\left (\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{c}{a}$

$x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\left ( \frac{b}{2a}\right )^{2}-\frac{c}{a}}$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\left ( \frac{b}{2a}\right )^{2}-\frac{c}{a}}$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}}$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{4ac}{4a^{2}}}$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{\sqrt{4a^{2}}}$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Jadi diperoleh akar dari persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ adalah

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Rumus ini lebih dikenal dengan Rumus ABC

Nilai didalam akar dari rumus ABC diatas disebut sebagai diskriminan (D) yaitu :

$D=\sqrt{b^{2}-4ac}$

Nilai diskriminan ini untuk menentukan jenis akar dari persamaan kuadrat yaitu :

Jika D>0, maka persamaan kuadrat memiliki akar-akar berbeda,
Jika D=0, maka persamaan kuadrat memiliki akan-akar kembar,
Jika D<0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real.

Contoh Soal 1

Dengan menggunakan rumus ABC, tentukan Jenis akar danakar-akarnya dari persamaan kuadrat $2x^{2}-5x-3=0$

Alternatif penyelesaian

Dari persamaan kudrat diatas diketahui :

a = 2, b = -5 dan c = -3, maka :

Untuk menentukan jenis akar, kita akan mencari nilai diskriminannya yaitu

$D=b^{2}-4ac$

$=\left( -5 \right )^{2}-4.2.\left ( -3\right )$

$=25+24=49$

Karena nilai diskriminan D = 49, D>0 artinya bahwa persamaan kuadrat $2x^{2}-5x-3=0$ memiliki akar real berbeda.

Akar-akar dari persamaan kuadrat diatas adalah

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{1,2}=\frac{-\left ( -5 \right )\pm \sqrt{\left ( -5 \right )^{2}-4.2.\left ( -3 \right )}}{2.2}$

$x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{25+24}}{4}$

$x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{49}}{4}$

$x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{4}$

$x_{1}=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$

$x_{2}=\frac{5-7}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$

Jadi akar dari persamaan kuadrat $2x^{2}-5x-3=0$ adalah x = 3 atau $x=-\frac{1}{2}$

Contoh Soal 2

Dengan menggunakan rumus ABC tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut.

a. $x^{2}+5x+6=0$

b. $x^{2}-4=0$

c. $9x^{2}-6x+1=0$

d. $x^{2}+x+1=0$

Alternatif Penyelesaian

a. $x^{2}+5x+6=0$

Diketahui a = 1, b = 5 dan c = 6

maka

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-5\pm \sqrt{5^{2}-4.1.6}}{2.1}$

$=\frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2}$

$=\frac{-5\pm 1}{2}$

$x_{1}=\frac{-5+1}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

$x_{2}=\frac{-5-1}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

Jadi akar-akar dari persamaan kuadrat $x^{2}+5x+6=0$ adalah x = -2 atau x = -3

b. $x^{2}-4=0$

Diketahui a = 1, b = 0 dan c = -4, maka

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{0\pm \sqrt{0^{2}-4.1.\left ( -4 \right )}}{2.1}$

$=\frac{\pm \sqrt{16}}{2}$

$=\frac{\pm 4}{2}$

$x_{1}=\frac{4}{2}=2$

$x_{2}=\frac{-4}{2}=-2$

Jadi akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-4=0$ adalah x = 2 atau x = -2

c. $9x^{2}-6x+1=0$

Diketahui a = 9, b = -6 dan c = 1

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-\left ( -6 \right )\pm \sqrt{\left ( -6 \right )^{2}-4.9.1}}{2.9}$

$=\frac{6\pm \sqrt{36-36}}{18}$

$=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$

Jadi akar dari persamaan kuadrat $9x^{2}-6x+1=0$ adalah akar kembar $x=\frac{1}{3}$

d. $x^{2}+x+1=0$

Diketahui a = 1, b = 1, dan c = 1

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-1\pm \sqrt{1^{2}-4.1.1}}{2.1}$

$=\frac{-1\pm \sqrt{1-4}}{2}$

$=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}$

karena D < 0 yaitu D = -3 maka persamaan kuadrat $x^{2}+x+1=0$ tidak memiliki akar bilangan riil.

Selanjutnya untuk mempelajari menentukan akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan silahkan klik LINK INI.

Sambimatika | Belajar Matematika SMP/MTs

Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus ABC | Materi Matematika SMP/MTs Kelas 9

Post a Comment for "Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus ABC | Materi Matematika SMP/MTs Kelas 9"