Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat | Materi Matematika Kelas 9 SMP/MTs - Sambimatika

Pada penyelesaian persamaan kuadrat atau mencari akar persamaan kuadrat dengan tiga cara yaitu cara melengkapkan kuadrat sempurna, rumus ABC dan memfaktorkan harus menentukan suatu nilai p dan q sehingga memenuhi :

$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\left ( x+p \right )\left ( x+q \right )$

$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^{2}+px+qx+pq$

$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^{2}+\left ( p+q \right )x+pq$

Dengan cara ini kita dapatkan akar dari persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ adalah $x_{1}=-p$ atau $x_{2}=-q$

Sehingga dari kesamaan diatas diperoleh :

$x_{1}+x_{2}=-p-q=-\left ( p+q \right )=-\frac{b}{a}$

$x_{1}.x_{2}=\left ( -p \right )\left ( -q \right )=pq=\frac{c}{a}$

Dari penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwa :

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar dari persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ maka :

(1) $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$

(2) $x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}$

(3) $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}=\left ( -\frac{b}{a} \right )^{2}-2\frac{c}{a}$

(4) $x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}=\left ( -\frac{b}{a} \right )^{2}-2\frac{c}{a}$

(5) $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{3}-3x_{1}x_{2}\left ( x_{1}+x_{2} \right )=\left ( \frac{-b}{a} \right )^{3}+\frac{3bc}{a^{2}}$

Contoh Soal 1

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-4x-12=0$ Hitunglah :

(a) $x_{1}+x_{2}$

(b) $x_{1}.x_{2}$

(d) $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$

Alternatif Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-4x-12=0$ diketahui

a = 1, b = -4 dan c = -12, maka

(a) $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{\left ( -4 \right )}{1}=4$

(b) $x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{\left ( -12 \right )}{1}=-12$

$=4^{2}-2\left ( -12 \right )$

$=16+24=40$

(d) $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{3}-3x_{1}x_{2}\left ( x_{1}+x_{2} \right )=\left ( \frac{-b}{a} \right )^{3}+\frac{3bc}{a^{2}}$

$=4^{3}-3\left ( -12 \right ).4$